unidad IV Analisis Combinatorio

Introduccion

Combinaciones, Variaciones y Permutaciones. El cálculo de los sucesos favorables y de los sucesos posibles a veces no plantea ningún problema, ya que son un número reducido y se pueden calcular con facilidad.

Análisis Combinatorio 

El análisis combinatorio es la rama de las matemáticas que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos, y nos va servir para resolver y comprender problemas sobre probabilidades. 

Técnicas fundamentales del Análisis Combinatorio 

En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señalado. Estas técnicas son: la técnica de la multiplicación, la técnica de la permutación y la técnica de la combinación. 

La Técnica de la Multiplicación 

Según La técnica de la multiplicación, si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas: 

En términos de fórmula: 

Número total de arreglos = m x n 

Esto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o: 

Número total de arreglos = m x n x o 

Ejemplo: 

Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor? 

Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin). 

Número total de arreglos = 3 x 2 

No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo: 

Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48 

La Técnica de la Permutación 

Es un conjunto de números o elementos (n) tomados de r en r a la vez y cuyos arreglos responden a un orden determinado. Nos interesa el orden en que estos se hacen. 

Como vimos anteriormente la técnica de la multiplicación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos para dos o más grupos. La técnica de la permutación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos donde hay solo u grupo de objetos.

Donde: nPr es el número de permutaciones posible n es el número total de objetosr es el número de objetos utilizados en un mismo momento (1 en 1, 2 en 2, 3 en 3, etc.)


La Técnica de la Combinación 

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes: 

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB 

Combinaciones: AB, AC, BC

Producto Cartesiano

En teoría de conjuntos, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par del primer conjunto, y el segundo elemento del segundo conjunto.

Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:

A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}

El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.

Un par ordenado es una colección de dos objetos distinguidos como primero y segundo, y se denota como (a, b), donde a es el "primer elemento" y b el "segundo elemento". Dados dos conjuntos A y B, su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse con estos dos conjuntos:

Puede definirse entonces el cuadrado cartesiano de un conjunto como A² = A × A.